金融资产的价值每天都在变化。投资者需要一个指标来量化这些通常难以预测的变化。供给和需求是影响资产价格变化的两个主要因素。作为回报，价格变动反映了波动幅度，这是成比例利润和损失的原因。从投资者的角度来看，这种影响和波动的不确定性称为风险。
期权的价格取决于其潜在的移动能力，或者换句话说，其波动能力。变动的可能性越大，临近到期的溢价就越贵。因此，计算标的资产的波动性有助于投资者为基于该资产的衍生品定价。
要点
- 期权合约和其他衍生品的定价直接涉及计算资产的波动性或价格波动的速度。
- 波动性源自年化价格变动的方差。
- 此计算可能复杂且耗时，但使用 Excel 计算资产的历史波动性可以快速准确地完成。
衡量资产的变化
衡量资产变化的一种方法是量化资产的每日回报（每日变动百分比）。这给我们带来了历史波动性的定义和概念。历史波动率基于历史价格，代表资产回报的波动程度。该数字没有单位，以百分比表示。
计算历史波动率
如果我们称P(t)为金融资产（外汇资产、股票、外汇对等）在t时刻的价格，P(t-1)为该金融资产在t-1时刻的价格，我们定义资产在时间 t 的每日收益 r (t)：
r(t)=ln(P(t)/P(t-1))
其中 Ln (x) = 自然对数函数。
时间 t 的总回报R 为：
R = r1 + r2 + r3 + 2 + ... +rt-1+ rt，
这相当于：
R = Ln (P1 / P0) + ... Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)
我们有以下等式：
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a*b)
所以，这给出：
R = Ln [(P1 / P0* (P2 / P1)* ... (Pt / Pt-1]
R = Ln [(P1.P2 ... Pt-1.Pt) / (P0.P1.P2 ... Pt-2.Pt-1)]
并且，经过简化后，我们有：
R = Ln (Pt / P0)。
收益率通常计算为相对价格变化的差异。这意味着，如果资产在时间 t 的价格为 P(t)，在时间 t + h> t 的价格为 P(t + h)，则回报 (r) 为：
r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] – 1
当回报率很小（例如只有几个百分点）时，我们有：
r ≈ Ln (1 + r)
我们可以用当前价格的对数替换 r，因为：
r ≈ Ln (1 + r)
r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] - 1))
r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))
例如，从一系列收盘价中，只需取两个连续价格之比的对数即可计算每日收益 r (t)。
因此，我们还可以仅使用初始价格和最终价格来计算总回报 R。
年化波动率
为了充分了解一年内不同的波动性，我们将该波动性乘以一个解释一年内资产波动性的因子。
为此，我们使用方差。方差是一天平均日收益偏差的平方。
为了计算 365 天的平均每日回报偏差的平方数，我们将方差乘以天数 (365)。年化标准差通过结果的平方根得出：
方差 = σ²每日 = [Σ (r (t)) ² / (n - 1)]
对于年化方差，如果我们假设一年有 365 天，并且每天都有相同的日方差 σ²daily，我们得到：
年化方差 = 365。 σ²每日
年化方差 = 365。[Σ (r (t)) ² / (n - 1)]
最后，波动率定义为方差的平方根：
波动率 = √（年化方差）
波动性 = √ (365. Σ²每日)
波动率 = √ (365 [Σ (r (t)) ² / (n - 1)].)
模拟
数据
我们从 Excel 函数 =RANDBETWEEN 模拟每天在 94 和 104 之间变化的股票价格。
计算每日回报
- 在 E 列中，我们输入“Ln (P (t) / P (t-1))”。
计算每日收益的平方
- 在 G 列中，我们输入“(Ln (P (t) / P (t-1)) ^2”。
计算每日方差
为了计算方差，我们将获得的平方和除以（天数 -1）。所以：
- 在单元格 F25 中，我们有“= sum (F6: F19)”。
- 在单元格 F26 中，我们计算“= F25 / 18”，因为我们有 19 -1 个数据点用于此计算。
计算每日标准差
为了计算每日标准差，我们计算每日方差的平方根。所以：
- 在单元格 F28 中，我们计算“= Square.Root(F26)”。
- 在单元格 G29 中，单元格 F28 显示为百分比。
计算年化方差
为了根据每日方差计算年化方差，我们假设每天都有相同的方差，并将每日方差乘以 365（包括周末）。所以：
- 在单元格 F30 中，我们有“= F26* 365”。
计算年化标准差
要计算年化标准差，我们只需计算年化方差的平方根。所以：
- 在单元格 F32 中，我们有“= ROOT (F30)”。
- 在单元格 G33 中，单元格 F32 显示为百分比。
年化方差的平方根为我们提供了历史波动率。