什麼是鐘形曲線？
鐘形曲線是一種常見的變量分佈類型，也稱爲正態分佈。“鐘形曲線”一詞源於用於描述正態分佈的圖形由對稱的鐘形曲線組成。
曲線的最高點，或者說鐘形曲線的頂部，代表一系列數據中最可能發生的事件（在本例中是平均值、衆數和中位數），而所有其他可能發生的事件則對稱分佈在平均值周圍，在峯的兩側形成一條向下傾斜的曲線。鐘形曲線的寬度用其標準差來描述。
關鍵點
- 鐘形曲線是描述正態分佈的圖形，其形狀類似於鐘形。
- 曲線頂部顯示所收集數據的平均值、衆數和中位數。
- 其標準差描述了鐘形曲線相對於平均值的相對寬度。
- 鐘形曲線（正態分佈）在統計學中被廣泛使用，包括分析經濟和金融數據。
理解鐘形曲線
“鐘形曲線”一詞用於描述正態概率分佈的圖形描述，其與平均值的底層標準差構成了彎曲的鐘形曲線。標準差是一種度量，用於量化一組給定值在平均值附近的數據離散度的變異性。平均值是指數據集或序列中所有數據點的平均值，位於鐘形曲線的最高點。
金融分析師和投資者在分析證券收益或整體市場敏感度時，通常使用正態概率分佈。在金融領域，描述證券收益的標準差被稱爲波動率。
例如，呈現鐘形曲線的股票通常是藍籌股，波動性較低，行爲模式更可預測。投資者使用股票過去收益的正態概率分佈來預測未來的預期收益。
除了教師在比較考試成績時使用鐘形曲線外，鐘形曲線在統計學領域也得到廣泛應用。鐘形曲線有時也用於績效管理，將工作表現平均的員工置於圖表的正態分佈中。高績效員工和低績效員工分別位於斜率下降的兩側。對於大型公司進行績效評估或制定管理決策時，鐘形曲線非常有用。
鐘形曲線示例
鐘形曲線的寬度由其標準差定義，標準差計算爲樣本中數據圍繞均值的變化程度。例如，使用經驗法則，如果收集100個測試分數並將其用於正態概率分佈，則其中68%的測試分數應在均值上下一個標準差的範圍內。偏離均值兩個標準差的範圍內應包含收集到的100個測試分數中的95%。偏離均值三個標準差的範圍內應包含99.7%的分數（見上圖）。
測試分數如果爲極端異常值（例如 100 分或 0 分），則會被視爲長尾數據點，因此正好位於三個標準差範圍之外。
鐘形曲線與非正態分佈
然而，正態概率分佈假設在金融領域並不總是成立。股票和其他證券有時會呈現出非正態分佈，不再像鐘形曲線。
非正態分佈的尾部比鐘形曲線（正態概率）分佈更肥厚。肥厚的尾部會向投資者發出負面信號，表明出現負收益的概率更大。
鐘形曲線的侷限性
使用鐘形曲線對績效進行評分或評估會強制將人羣分爲較差、中等或較好三類。對於較小的羣體，必須將一定數量的人分入每個類別以擬合鐘形曲線，這會對這些個人造成傷害。有時，他們可能都是中等甚至較好的工人或學生，但考慮到需要將他們的評級或成績擬合到鐘形曲線，一些人被迫歸入較差組。實際上，數據並不完全正態。有時，均值上下之間存在偏度或缺乏對稱性。有時還會出現厚尾（峯度過高），使尾部事件發生的可能性高於正態分佈的預測值。
鐘形曲線有哪些特徵？
鐘形曲線是以所有被測數據點的平均值爲中心的對稱曲線。鐘形曲線的寬度由標準差決定——68% 的數據點位於平均值的一個標準差範圍內，95% 的數據點位於平均值的兩個標準差範圍內，99.7% 的數據點位於平均值的三個標準差範圍內。
鐘形曲線在金融中如何應用？
分析師在對與投資相關的各種潛在結果進行建模時，通常會使用鐘形曲線和其他統計分佈。根據所進行的分析，這些結果可能包括未來股價、未來盈利增長率、潛在違約率或其他重要現象。在分析中使用鐘形曲線之前，投資者應仔細考慮所研究的結果是否符合正態分佈。否則，可能會嚴重損害最終模型的準確性。
鐘形曲線的侷限性是什麼？
儘管鐘形曲線是一個非常有用的統計概念，但它在金融領域的應用卻受到限制，因爲金融現象（例如預期股市收益）並不完全符合正態分佈。因此，在預測這些事件時過度依賴鐘形曲線可能會導致不可靠的結果。儘管大多數分析師都很清楚這一侷限性，但克服這一缺陷相對困難，因爲通常不清楚應該使用哪種統計分佈作爲替代。