用凱利公式計算最優槓桿

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讓我們來看一個使用凱利公式的例子。假設投資組合只包含跟殊標準普爾500指數的ETF基金SPY的多頭頭寸。設SPY的平均年收益率爲11.23%,年標準差爲16.91%,無風險利率爲4%。因此,投資組合的年平均超額收益率爲7.231%,已知年標準差16.91%,可算出夏普比率爲0.4257。根據凱利公式,最優槓桿ƒ=0.07231/0.1691²= 2.528。(注意一個有趣的地方:凱利公式的ƒ與時間長短無關,所以並不步及是否年化收益率和標準差,這跟夏普比率與時間長短有關正好相反。)最後,考慮了融資成本的年化複合槓桿收益率爲13.14%。


你可以從雅虎財經下載SPY每日價格數據來驗證這些結果。並可以在電於表格上計算不同數據。我驗證2007年12月29日那一天,電子表格可從epchan.com/book/example6_2.xls下載。在H列,計算了SPY(調整後)收盤價的日收益率,從H列3760行開始,計算了SPY的(年化)平均收益率和標準差、投資組合的平均超順收益率和夏普比率、凱利槓桿以及複合增長率。

這個策略的凱利槓桿2.528意味着,如果投資10000美元現金,並且相信收益率和標準差的期望價值,就可借錢買入價值252800美元的SPY。此時,這10 000美元投資的預期年複合增長率爲13.14%。

作爲比較,我們來算一下沒有槓桿時的複合增長率是多少(見本文附錄中的公式):g=r+m-s²/2=0.1123-0.16912²/2=9.8%。這是僅用現金購買SPY的長期增長率,不等於11.23%的年收益率。

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