凱利公式及其應用敘述?凱利公式的 核心內涵是什麼?

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將凱利公式及其應用敘述至此,應該可以很明確地認清凱利公式的核心內涵了。作者將其大致歸納爲兩點:

(1)凱利公式試圖規避的風險,是一次交易就將可用資金全部損失掉的風險。在賭客確保不會一次性出局的基礎上,只要賭局對於賭客而言在概率上有利,賭客就具有將資金增值的潛在能力。而凱利公式通過固定比例的押注方式,實現了不會一次性出局的目標,固定比例是該公式的一個核心設置。

(2)凱利公式尋求的目標是,經過多次賭局之後,實現賭客資金量的最大化,即賭客收益的最大化。在推導過程中,最大化往往針對的是收益的期望,這是一個更數學化也更容易處理的做法。


作者在本節的內容中,不厭其煩地改變條件,推導凱利公式的具體應用形式,其實也正是希望告訴讀者,當我們從內涵上理解了凱利公式的核心所在之後,完全可以根據量化交易策略的研發環境,自主地推導公式,選取最爲合適的模型構造方法。其他形式如分佈條件下的凱利公式等,不再一一敘述,有興趣的讀者可以自行推導或尋找資料進行了解。

可惜的是,某些量化交易策略的研究者在實際工作中只是簡單地套用凱利公式,甚至錯誤地使用了凱利公式的基本形式,這往往是對該公式的推導過程不求甚解的結果。而實際上,推導凱利公式涉及的這些數學模型其實並不複雜,掌握整個模型也不是一件非常困難的事情。

因此,作者在此建議讀者,在量化交易策略的研發過程中,不管是使用凱利公式,還是處理更爲複雜的數學模型和交易策略,都應該更多地關注策略模型內在的含義,由內及外地加以應用。而不是簡單地套用模型或公式,喪失對其的控制能力和改進能力。

最後,討論一下凱利公式相關的知識點。雖然在之前的假設環境下,當賭局在概率上對賭客有利時,凱利公式是一個非常優秀的倉位決策方法。但是在實際操作中,當資金量下降到一定程度時, 即使沒有完全爲零,也會失去繼續玩下去的資格。例如賭客從1萬元開始賭博,輸到1元錢時,莊家可能就不會再接受1元的押注了。原例子中允許所有小數金額,如0.000 001元的假設,並不是一個合乎實際的假設。

類似的情況還有倍賭押注方式,簡單情形如一個賠率爲1的賭局中,賭客用1元下注,輸了就接着押注2元,再輸了就接着押注4元,循環往復。就算前面全部押錯,只要有一局押對了,整體來看就可以盈利1元。而從概率上講,贏一局這一事件是必然會發生的。因此粗看起來,這一押注方法幾乎是必勝之法。但是關鍵在於,若干次連續押錯之後,賭客可能就沒有足夠的錢進行加倍了。

當形勢不利時,凱利公式的賭注越來越小,倍賭的賭注則越來越大,兩者有明顯的分野。然而在現實中,既存在使用凱利公式這一類設置的量化交易策略,也存在使用倍賭類設置的量化交易策略。如何根據實際情況進行選擇,也是需要建立在掌握模型公式、理解其優點和不足之處的基礎上的。

另外,在本節的幾個例子中,賭局都在概率上對賭客有利,量化交易策略的回溯測試也應該取得整體正收益。而如果賭局在概率上對賭客不利,或者是量化交易策略回溯測試的整體收益爲負時,那麼套用相同公式算出的f應該爲負數。針對賭局,可以理解爲賭客無法在概率意義上獲利。針對量化交易策略,可以理解爲,使用方向相反的倉位,就可以取得最大正收益。

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